La ratio de Sharpe est une formule souvent sollicitée pour mesurer l’efficience de son portefeuille d’actifs financiers.
William Forsyth Sharpe est l’économiste américain à l’origine de ce ratio.
Formule du ratio de Sharpe
Le ratio se calcule de la manière suivante = (Espérance de rentabilité du portefeuille – rentabilité d’un actif sans risque) / (risque du portefeuille soit son écart type).
Avant de s’engager dans ce calcul il va donc falloir déterminer :
- l’espérance de rentabilité de son portefeuille
- et l’écart type de son portefeuille
Un actif sans risque correspond à un actif où la rentabilité est certaine. Ce qui veut dire que son écart type est égal à 0. En principe on ne calcule pas la rentabilité d’un actif sans risque. On se base sur des actifs qui présentent très peu de risques comme référence, comme les bons du trésor ou obligations d’Etat. En effet, il y a peu de risques que l’Etat soit en faillite.
Espérance de rentabilité d’un portefeuille
L’espérance de rentabilité d’un portefeuille de titres se détermine par la formule suivante : Proportion de titres A * Espérance de rentabilité du titre A + Proportion de titres B * Espérance de rentabilité du titre B (titres C,D, E…)
Pour ce qui est de calculer l’espérance de rentabilité d’un titre, nous y avons répondu au sein d’un article consacré à comment calculer la rentabilité d’une action.
Exemple : notre portefeuille contient seulement deux titres A et B à proportion égale soit 50/50. La rentabilité attendue du titre A et de 8% tandis que celle du titre B est de 6%.
On pose alors : 50% * 8 % + 50% * 6% = 7%
Ce résultat est logique puisque comme la proportion entre les deux titres est égale, le résultat correspond à la moyenne de la rentabilité espérée soit (6%+8%)/2 = 7%
Ecart type de son portefeuille
Le risque de son portefeuille s’obtient en calculant l’écart type. En effet, l’écart type est un moyen de valoriser la dispersion (la fluctuation) d’une action. Plus une action fluctue est plus celle-ci est risquée.
Venons en à la détermination de l’écart type :
= Racine carrée (Proportion de l’action A² * écart type de l’action A² + Proportion de l’action B² * écart type de l’action B² (C,D…) + 2 * Proportion de A * écart type de A * Proportion de B * écart type de B * covariance (Action A et Action B (C,D…))
Cette formule est très complexe. Nous allons là décomposer et rappeler comment :
- calculer le risque d’une action (son écart type)
- covariance de plusieurs actions
Calcul du risque d’une seule action
Comme expliqué le risque se calcule par l’écart type. L’écart type d’une seule action s’obtient en calculant dans un premier temps la variance soit : Moyenne des rentabilités espérées ² – (moyenne des rentabilités)²
Puis l’écart type est égal à la racine carrée de la variance.
Vous allez comprendre la formule à travers notre exemple.
Exemple :
| Année | Renta. Espérée A | Renta. Espérée B | Ra² | Rb² | |
| 2020 | 8% | 6% | 0,00640 | 0,00360 | |
| 2019 | 3% | 2% | 0,00090 | 0,00040 | |
| 2018 | -2% | -5% | 0,00040 | 0,00250 | |
| 2017 | 5% | 3% | 0,00250 | 0,00090 | |
| 2016 | 1% | 2% | 0,00010 | 0,00040 | |
| 2015 | 4% | 3% | 0,00160 | 0,17956 | |
| Moyenne | 3% | 2% | 0,2% | 3% | |
| Variance A | 0,0011 | =0,002 (moyenne Ra²)-0,03^2 (moyenne Ra)² | |||
| Ecart type A | 3,32% | =RACINE(B40) |
| Variance B | 0,0309 |
| Ecart type B | 17,58% |
Formule de la covariance
La covariance est égal à : Moyenne Rentabilité action A * Rentabilité action B – (moyenne rentabilité action A * moyenne rentabilité action B).
Là encore l’exemple va rendre la formule plus concrète. On se base sur le même exemple précédent.
| Renta. A*Renta. B | ||
| 0,48% | ||
| 0,06% | ||
| 0,10% | ||
| 0,15% | ||
| 0,02% | ||
| 0,12% | ||
| 0,2% | ||
| Covariance | 0,10% | =0.002 (moyenne renta A* renta B) -0,03 (moyenne rentabilité action A) *0,02 (moyenne rentabilité action B) |
Résultat de l’écart type du portefeuille
On avait précédemment expliqué que l’écart type du portefeuille est égal à : Racine carrée (Proportion de l’action A² * écart type de l’action A² + Proportion de l’action B² * écart type de l’action B² (C,D…) + 2 * Proportion de A * écart type de A * Proportion de B * écart type de B * covariance (Action A et Action B (C,D…))
On a donc Racine carrée (0.5²X0.032²+0.5²*0.1758²+2*0.5*0.032*0.5*0.1758*0.1) = 9%
Exemple ratio de Sharpe
Enfin maintenant que nous avons entièrement décortiqué la formule du ratio de Sharpe, nous allons concrétiser l’exemple jusqu’au bout.
Nous avons vu que le ratio de Sharpe était égal à (Espérance de rentabilité du portefeuille – rentabilité d’un actif sans risque) / (risque du portefeuille soit son écart type).
- Dans notre exemple en 2020 la rentabilité attendue pour A est de 8% et 6% pour B. Ce qui nous a permis de calculer la rentabilité du portefeuille de 7%.
- D’un autre côté l’écart type du portefeuille est lui de 9%.
- Enfin, actuellement les obligations d’états son actuellement rémunérées à un taux d’intérêt de 1%.
Nous avons maintenant toutes les données pour former le ratio de Sharpe :
(7%-2%)/9% = 0.55.
Ratio de Sharpe : interprétation
Le ratio de Sharpe mesure la rentabilité d’un portefeuille par rapport aux risques engagés.
Ce ratio nous donne un résultat. Ce résultat va nous permettre de former les interprétations suivantes :
- Lorsque le résultat obtenu est <0, cela signifie que les actifs formant le portefeuille ne sont pas performantes. Les actifs sans risque sont plus rentables que les actifs risqués.
- Quand le résultat est situé entre 0 et 1, l’interprétation est la suivante : la rentabilité espérée est plus importante qu’un actif sans risque. Cependant, l’excédent de rendement n’est pas à la hauteur des risques engagés.
- Enfin si le résultat est supérieur à 1, le portefeuille est performant. L’excédent de rendement est supérieur aux risques engagés.
Dans notre exemple le résultat était de (7-2)/9 = 0.55.
L’excédent de rendement était donc de 7-2 = 5%
Le résultat compris entre 0 et 1 nous permet d’interpréter que la rentabilité espérée est supérieur à un actif sans risque. Toutefois l’excédent de rendement reste inférieur au risque pris. En effet, l’excédent de rendement de 5% est bien inférieur au risque du portefeuille de 9%.
